はじめに

高分子は、モノマーと呼ばれる低分子が数百以上、時には数十万個も重合した巨大分子で、ゴム、DNA、タンパク質、繊維、プラスチック、ゲルなど多様な物質が該当します。高分子の中では炭素原子が共有結合によって長く連なり、高分子同士あるいは溶媒分子との衝突による変形を絶えず繰り返してランダムな糸まり状の構造を作っています。高分子に共通する、ランダムに変形するひも状のものとしての性質は、20世紀前半から物理学者の注目を集めはじめました。

出口研究室では、ランダムに変形するひも状の高分子と“かたち”の関係を調べています。“かたち”とは、ここでは、①多数のひもがどのようにつながってネットワークを形成しているのか＝グラフ理論的なアプローチ=ホモロジー的トポロジーと、②ひもが互いの移動を制限する絡まり＝結び目・絡み目を対象とした位相幾何学的なアプローチ＝イソトピー的トポロジーの二つを意味しています。ホモロジー的トポロジーの研究では、高分子ネットワークの構造を境界演算子と呼ぶ行列によって表し、抵抗距離を厳密な解析的計算あるいは数値計算によって調べ、慣性半径や散乱関数などの物性量をネットワークの構造と関連付けて求めます。イソトピー的トポロジーでは、高分子の立体配置を実際に生成して結び目や絡み目を検出し、高分子の絡まりが物性に与える影響を考察します。また、これらの数値計算に用いるアルゴリズムを開発し、生成されたサンプルが統計的に良い性質を持っていることを線形代数学や測度論など数学を用いて証明することも行っています。

高分子ネットワークの境界演算子を利用した解析

背景

高分子ネットワークの一部を空間的に固定した場合の分配関数は、JamesによってKirchhoff行列の行列式を使って示されました[1]。電気回路とのアナロジーから、高分子ネットワークの弾性は抵抗距離によって表されます。ファントムネットワークの架橋鎖ベクトルの揺らぎは、架橋点の分岐数を$f$とすると$2/f$に比例するとFloryによって予想されました[2]。Kloczkowskiは内部に多数の枝分かれを含む高分子ネットワークを、端を固定した無限に大きい木構造のグラフとしてモデル化し、Floryの予想がこの場合において正しいことを示しました[3-4]。Kloczkowskiのモデルの研究は現在でも続けられており、最近ではループやダングリングなど構造に不均一な部分を含む場合の解が計算されています[5-7]。

出口研究室の研究の例

従来の理論では、高分子ネットワークの一部を空間に固定しないと分配関数が発散してしまいました。一方で、揺らぎの計算結果は、どの点を固定するかに依存します。出口研究室では、この問題を解決し、固定点のない高分子ネットワークの2点相関をグラフラプラシアンの擬逆行列を使って表しました。この方法による解析で、多様な種類のネットワークの揺らぎについての予想$2/f$が成立していることをシミュレーションによって検証し、一部のネットワークについては$2/f$に漸近する厳密解を得ました。

高分子鎖の絡み合い、結び目の研究

背景

大腸菌など一部の細菌は環状DNAを持っており、DNAトポイソメラーゼを使うことでDNAに結び目を生じることが、電子顕微鏡写真で直接確認されています[1]。結び目を生じた高分子は通常より小さくなるので、溶媒中での移動速度が変化し、電気泳動によって分離することができます[2]。また最近でも、結び目DNAを細孔を通して分離する実験が行われました[3]。これらの実験は、高分子同士の絡み合いが実際に物性に影響することを端的に示しており、バルクの物質でも絡み合いが重要な役割を果たすことを示唆しています。

出口研究室の研究の例

出口研究室で開発したソースコードを使い、環状高分子鎖の結び目確率および慣性半径のスケーリング指数を計算しています[1]。ソースコードの開発を行う中で、従来は難しかった束縛条件のあるランダムウォークの高速生成アルゴリズムを開発し、条件を満たすランダムウォークを統計的に一様に状態空間から取り出せることを証明しました[2,3]。最近では環状以外の様々な形状のランダムウォークにおける自己絡み合いの確率を計算し[4]、また伸長したときのエントロピーの変化から弾性力を評価し、ファントムネットワークにおけるMooney-Rivlin則の再現を目指しています[5]。